画像 フーリエ 変換。 画像のフーリエ変換

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2次元フーリエ変換を用いた画像解析入門 2次元フーリエ変換を用いた画像解析入門 九州大学大学院工学研究院エネルギー量子工学部門 1.はじめに 近年、画像処理や画像解析はコンピュータの発達・普及に伴って簡単、高速、安価に行うことが可能になった。 衛生画像の解析、ファクシミリにおける画像圧縮、郵便番号読み取りなどのパターン認識、さらに動画の圧縮転送まで非常に広い分野で常識化している。 ここでは2次元画像でよく行われているフーリエ変換を用いた周期性の評価法に関する基本的な事柄の解説を行う。 2.画像について 2.1.ディジタル画像 コンピュータで処理可能なディジタル画像とは画素 Pixel と呼ばれる点の集合である。 画素が多いほど高解像度の画像であり、細かい表現が可能になる。 さらに各画素は明るさや色によって特徴付けられる。 明るさは、最も明るい状態と真っ暗な状態を何段階で表現するかによって何階調と呼ばれる。 色は、赤、緑、青の光の三原色の混合比で表す。 例えば、白は赤、緑、青を1:1:1の明るさ比で混合したもののうち最も明るい色である。 同じ混合比でも、明るさによって白から灰を表現することができる。 三原色の明るさが0の場合が黒(暗)である。 通常用いられている全ての画像においてその画像を構成する画素が明るさと色という情報を持っているわけではなく、必要に応じて以下の3種類の画像が用いられる。 2値化画像:各画素が明(白)と暗(黒)の様に2つの値で表現される。 階調画像:各画素が何段階かの明るさを持ち、各画素の色は同じもの。 白~灰~黒の場合をグレースケールと呼び一般的に用いられている。 カラー画像:各画素が階調だけでなく、色を持つもの。 通常は赤、緑、青の三原色が各々階調を持つとして表現される。 から 3. になるにつれて表現力(情報量)が大きくなる代わりに保存や処理に必要なコストが増大することになる。 2.2.画素の値 画素の値とは、2値化画像や階調画像ならば明るさであるが、カラー画像は色に対する情報をどのように扱うかを注意する必要がある。 例えば、赤、緑、青別に処理するのか、赤、緑、青の明るさ値を加えて絶対的明るさを画素値とするのか等である。 また、カラー画像には赤、緑、青の比率を表す情報と各画素が表す色の情報を別々に保持するインデックス方式もある。 例えば、最も普及している Windows95 のグラフィック画面には 1600万色の中から任意の 256 色を表示するモードがある。 各画素に対応する情報は 1600万色中の何番目の色かを保持している(0~256の数字、即ちインデックスである)。 画面に表示されるときには、インデックスと色情報はハードウェアで対応させられる。 この様な方式の違いによって、画像の読み込みと処理を異なるソフトウェアで行う場合には画像形式の変換が必要になることがある。 3.画像の取扱い 3.1.画像の読み込み 画像をコンピュータで処理したい場合には、画像をディジタル化しておく必要がある。 普通の写真対象物であれば、最も簡単なのは、対象物をCCDカメラ等によって直接撮影し、その画像を接続したコンピュータに読み込む方法であろう。 しかし、それが出来ない場合にも写真を撮ることができれば、写真をスキャナーで読み取ることによってディジタル画像化が可能である(図2参照)。 3.2.画像処理ソフトウェア 画像をコンピュータに読み込んだらそれを処理するソフトウェアが必要になる。 自作や購入以外にも高度な機能をもったフリーソフトウェアをインターネットから得ることが出来る。 例えば、様々なOS Windows,Mac,Linux等 のJava仮想マシンで動くがある。 4.周期性の評価 4.1.二次元フーリエ変換 周期性の評価に欠かせないのがフーリエ変換であり、2次元の場合も音の周波数解析(1次元)と基本は同じである。 音では元データが時間の経過に伴うものであるのに対し、画像の場合には位置が変わることによるものになる。 従って、フーリエ変換後の次元は元データの次元の逆数となるので、音が周波数(単位は s -1 =Hz)に変換されるのに対し、このような画像では波数(空間周波数ともいう。 ;単位 m -1 )に変換される。 また、フーリエ変換で扱えるのは通常グレースケールの画像なので、カラーを扱うには原色別などの工夫が必要になる。 図3(a)は横方向に正弦波的周期性で明るさが変化する画像である。 図3(a)のグレースケールの画像を二次元フーリエ変換し、パワー(絶対値の自乗)を濃淡で表したのが図3(b)である。 図3(b)の中心が波数0になる。 中心を挟んで左右に同じだけ離れた輝点が現れている。 この点が図3(a)における正弦波の周期に対応する点である。 中心から輝点への方向は、正弦波の方向と一致する。 1つの方向に対し、向きは2つあるので、波数0の点を中心として2つの対象な点が現れることになる。 また、輝点の中心からの距離が正弦波の波数を表している。 図3(b)の四隅で波数は最も大きくなり、その大きさは画素数と元データの大きさから決まる。 横と縦の画素数はフーリエ変換を高速(実用に耐える早さで)に行うためには2の累乗にする必要がある。 また、波数の最大値は画像の一辺の大きさが同じならば画素数に比例することに注意しなければならない。 図4(a)はHOPG(高配向焼結グラファイト)のSTM(走査型トンネル顕微鏡)像である。 STM像は電子の密度分布を反映したものであり、HOPGでは60度づつ方向の異なった3つの正弦波の重なったもので近似できることが知られている。 フーリエ変換像(図4(b))では3つの正弦波に対応する6つの点が現れており、各点は波数0の点を中心に60度づつ回転した位置にある。 4.2.解析例(薄膜電子顕微鏡像の周期性評価) 図5(a)はHOPG基板上のパラフィン蒸着膜の透過型電子顕微鏡像である。 この蒸着膜はHOPG基板にエピタキシャル成長していると考えられている。 その周期は矢印で示したように長いものから短いのまで様々である。 この周期に対応する波数が図5(b)のフーリエ変換像では色の濃い部分として表れている。 一方、周期性を示していても、それは他の方向の周期性の射影という場合がある。 図5(b)のようにHOPG基板上のパラフィン蒸着膜は図4(b)で示したHOPGと同じ対称性を示し、エピタキシャル成長したことの有力な証拠となっている。 一方、HOPGのような周期構造を持たないガラス基板上のパラフィン蒸着膜(図6(a))ではパターンの大きさにはさほど違いはない(倍率が違うことに注意)が、フーリエ変換した画像(図6(b))は特徴のないハローパターンになるだけで明らかな対称性は示さない。 また、図5(b)、6(b)の円はパターンの幅(約 0. もちろん、以上のような解析を顕微鏡写真自体から行うこともある程度は可能であろう。 しかし、フーリヘ変換による波数解析を行うことによってより定量的な取り扱いが可能になるのである。 5.おわりに 以上、2次元フーリエ変換を用いた周期性の評価について簡単に解説した。 一般に、画像処理はその限界をわきまえなければ誤った結論を導くことにもなりかねない。 ソフトウェアを自作しない人でも処理の内容をある程度理解しておくことが大切である。 また、ここでは写真画像を念頭において説明したが、2次元の分布として画像の様に表現されたものであれば、次元(単位)が変わるだけで周期性の評価は同様に行うことは容易であろう。 参考文献 画像処理の一般的解説書は以下の文献以外にも多数出版されているので目的に応じて選ぶとよいだろう。 牧島邦夫、篠原靖忠、小森尚志訳「計量形態学」内田老鶴圃刊• 木内雄二著「画像認識のはなし」日刊工業新聞社刊• 安居院猛、中嶋正之、木見尻秀子著「C言語による画像処理」昭晃堂刊• 丹慶勝市、奥村晴彦、佐藤俊郎、小林 誠訳「NUMERICAL RECIPES in C [日本語版]」技術評論社刊• 顕微鏡画像の波数解析、岡部弘高、石田謙司、瀧 正二、原 一広、九大中央分析センタ-ニュ-ス11 1994 4 本文は岡部が参考文献5を一部内容を変更・更新して1998年頃にHTML用に書き改め公開したものです。 アクセスが公開以来 と多いので残し、少し改訂していますが、コンピュータ環境などに少し古い記述が残っています。

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フーリエ変換、フーリエ逆変換とは何かを世界一やさしく説明してみた

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NET Framework4. 2以上で動作すると思います) 上記ファイルを解凍後、FourierTransformAnimation. exeファイルをダブルクリックすると、プログラムが実行できますが、Windowsの警告画面が表示されるので、「詳細情報」をクリック後、プログラムを実行してください。 また、いくつかサンプルデータを入れてありますので、sampledataフォルダ内のcsvファイルを開いてお試しください。 フーリエ変換で用いている式は、いくつかあろうかと思いますが、下記の式に基づいて処理を行っています。 プログラムの説明 データファイルを開くと、離散フーリエ変換を行い、大きさと位相を表示します。 離散フーリエ変換の途中途中に出てくる赤い線は、複素平面において、原点からデータの平均の位置までの線で、この線の大きさをMagnitudeグラフへ記載しています。 (描画スケールが異なります。 逆離散フーリエ変換の時は、各周波数のデータを積算していきますが、前回までのデータの合計を太い青い線で、現在の周波数のデータを赤い線で表示しています。 csv をクリックし、CSVファイルを選択します。 CSVファイルのフォーマットは1行に1データを縦に記載します。 【例】 1. 2 1. 107165359 0. 914844142 0. 80157706 0. 872515202 1. 061803399 1. 193716632 1. 145793725 0. 962523737 0. 814044703 0. 838196601 1. 012558104 1. 175261336 入力データに虚数成分がある場合は、実数と虚数をカンマ(,)でつなげて以下のようにします。 【例】 1,0 0. 999390827,0. 034899497 0. 99756405,0. 069756474 0. 994521895,0. 104528463 0. 990268069,0. 139173101 0. 984807753,0. 173648178 0. 978147601,0. 207911691 0. 970295726,0. 241921896 0. 961261696,0. 275637356 0. 951056516,0. 309016994 0. 939692621,0. 342020143 0. 927183855,0. 374606593 0. 913545458,0. 406736643 0. 898794046,0. 438371147 0. 882947593,0. 469471563 データ数がどこまでいけるか?評価していませんが、アニメーション表示をするなら50~100個ぐらいまでが目安です。 スペースキーを押しても同様の動きをします。 窓関数処理 基本的に全データを1周期分を想定していますが、この1周期に窓関数(Hamming、Hanning、Blackman)を通します。 フーリエ変換のイメージ フーリエ変換では、データを複素平面へ巻き取るようなイメージでになります。 このデータを巻き取るときの回転の速度が、データ全体を0回転、1回転、2回転・・・で巻き取るようにすると、それぞれの周波数 0,1,2・・・ の大きさと位相が取得できます。 ここで、ちょっと違和感があるであろう コサイン波形 と書きましたが、サイン波形を足し合わせた結果は、虚部となります。 この部分の詳細を知りたい場合は、 複素共役で調べてもらうと分かるかも?しれません。

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フーリエ変換と画像圧縮の仕組み

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画像のフーリエ変換• 画像圧縮• 分かりやすさを優先するために、• 厳密性に欠ける箇所• 代替表現を用いている箇所• があります• 何か誤りがあったら指摘して 下さい おことわり• 三角関数の復習• フーリエ級数展開• フーリエ変換• 離散フーリエ変換• 2次元離散フーリエ変換• 画像のフーリエ変換• 画像圧縮• 分かりやすさを優先するために、• 厳密性に欠ける箇所• 代替表現を用いている箇所• があります• 何か誤りがあったら指摘して 下さい おことわり• 三角関数と周波数• xに係数を乗ずることで周期が短くなる• xの前の係数を周波数 frequency と呼ぶ• 周波数が大きくなると、より反復の多いグラフになる• 三角関数の重ね合せ 三角関数をいろいろ重ねあわせることで様々なグラフ を作ることが出来る 例• 三角関数の重ね合せ 三角関数をいろいろ重ねあわせることで様々なグラフ を作ることが出来る 例• 三角関数の重ね合せ 三角関数をいろいろ重ねあわせることで様々なグラフ を作ることが出来る 例• 三角関数の重ねあわせ 例 その2 この怪しげな級数を足していくとどうなるのか? 足し合わせる数が無限大 までなので その足しあわせの数を上げつつ様子 を見てみましょう• フーリエ級数展開の制約 確かに三角関数で近似できそうだ。 ところでフーリエ変換は任意の関数について成立するの? 実は、以下の制約を満たす関数のみに限定される 1. 区分的に滑らか 有限個の点を除いて連続かつ微分可能• そのような場合は、 1. そのような場合は、 1. そのような場合は、 1. フーリエ変換の導出 フーリエ級数展開を用いてフーリエ変換を導出します。 フーリエ級数展開の複素数表現• 任意の周期への拡張• 無限周期への拡張• フーリエ変換と逆フーリエ変換 時間がないので少し巻き気味に進めます。 フーリエ変換の導出• フーリエ級数展開の複素数表現 フーリエ級数展開にはsinとcosの両方が入っていて 式が煩雑なので複素数を使って一つにまとめます オイラーの公式 を使うと, sin, cosを 以下のように置き換えることが出来ます 式が少しスッキリした!• フーリエ変換の導出• フーリエ変換の導出• フーリエ変換の導出• フーリエ変換と逆フーリエ変換 この部分がフーリエ係数の式にあたる この部分だけ取り出したのがフーリエ変換 フーリエ変換 : 数直線上の表現 空間領域 から周波数による表現 周波数領域 への変換 逆フーリエ変換 : 周波数領域にある関数を元の空間領域に戻す変換• フーリエ変換の導出• フーリエ変換と逆フーリエ変換 この部分がフーリエ係数の式にあたる この部分だけ取り出したのがフーリエ変換 フーリエ変換 : 数直線上の表現 空間領域 から周波数による表現 周波数領域 への変換 逆フーリエ変換 : 周波数領域にある関数を元の空間領域に戻す変換 フーリエ変換、逆フーリエ変換を使うことで ある関数について周波数で表現したり、 元の表現に戻したりすることができる• フーリエ変換の例• 例 いきなりフーリエ変換や周波数 領域と言われてもなんのこっ ちゃっていう感じだと思うので サンプルを紹介します フーリエ変換すると どんな周波数が含まれて いるかが分かりづらい どんな周波数が含まれて いるかがひと目で分かる 空間領域 周波数領域• フーリエ係数展開とフーリエ変換 A :• フーリエ変換はフーリエ係数をベースに広げたものなので、 初見ではあまり違いはないように見えるかも• 周期関数を仮定しなくても使えるようになった• 関数を周波数による表現 特徴づけ を行えるようになった Q : フーリエ変換は、まぁ分かりました。 ただ、フーリエ級数展開とフーリエ変換は何が違うの?• 三角関数の復習• フーリエ級数展開• フーリエ変換• 離散フーリエ変換• 2次元離散フーリエ変換• 画像のフーリエ変換• 画像圧縮• 308, 0. 586, 0. 807…]• N-1 に対する離散フーリエ変換 は以下のように定義される• 982, 1. 618, 1. ここまでのまとめ• 関数は三角関数の級数で表現できる フーリエ級数展開• フーリエ変換を用いると、ある関数に含まれている 周波数の分布を求めることができる• 離散フーリエ変換を用いると、関数だけでなく任意の データの周波数の分布を求めることができる ここからは、これを2次元に拡張し、画像へと応用する• 三角関数の復習• フーリエ級数展開• フーリエ変換• 離散フーリエ変換• 2次元離散フーリエ変換• 画像のフーリエ変換• 画像圧縮• 二次元離散フーリエ変換 二次元離散フーリエ変換は以下のように定義される• 入力は2次元のデータ点 2次元配列のようなもの• 2次元の様々な周波数の三角関数が入力に どれくらい含まれているを表す• 二次元離散フーリエ変換 二次元離散フーリエ変換は以下のように定義される• 入力は2次元のデータ点 2次元配列のようなもの• 2次元の様々な周波数の三角関数が入力に どれくらい含まれているを表す 2次元の周波数の 三角関数??• 画像のフーリエ変換 二次元のデータ点である画像をフーリエ変換すると 128 128• 画像のフーリエ変換 二次元のデータ点である画像をフーリエ変換すると 128 128 画像にどのような周波数の 波が含まれているか表す• 画像のフーリエ変換 二次元のデータ点である画像をフーリエ変換すると 128 128 このような波形がどのような割合で含まれているかを表す• 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. 画像のフーリエ変換と再構成 やり方 フーリエ変換の値 を 対応する波形 に掛けてを足しあわせていく 7. 49 106 -5. 53 105 … 8. 98 103 3. 81 105 2. 84 105 … -4. 95 103 … … … … 1. 00 103 -1. 69 103 … 3. github. github. 三角関数の復習• フーリエ級数展開• フーリエ変換• 離散フーリエ変換• 2次元離散フーリエ変換• 画像のフーリエ変換• 画像圧縮• 画像圧縮 画像圧縮には、フーリエ変換をすることで分かる、周波数の 偏りを利用して行う• 画像圧縮 画像圧縮には、フーリエ変換をすることで分かる、周波数の 偏りを利用して行う 画像における周波数の偏り 私達がよく目にする画像は、周波数の低い成分が多く、 高い成分が少ないという傾向がある 多い 少ない 画像 フーリエ変換• JPEG圧縮 ジグザグ スキャン 量子化 離散コサイン 変換 8x8に分割• JPEG圧縮 ジグザグ スキャン 量子化 離散コサイン 変換 8x8に分割 35 38 55 90 65 50 72 163 40 42 68 112 77 56 66 157 66 66 90 108 74 53 87 177 84 91 83 72 57 66 126 197 90 80 76 55 65 113 173 207 60 57 64 77 107 160 198 208 65 75 88 127 158 188 202 203 102 116 137 163 186 197 198 202• 画像全体を 8 8 の ブロックに分割する• 以降の処理は各ブロック ごとに行う• JPEG圧縮 ジグザグ スキャン 量子化 離散コサイン 変換 8x8に分割 35 38 55 90 65 50 72 163 40 42 68 112 77 56 66 157 66 66 90 108 74 53 87 177 84 91 83 72 57 66 126 197 90 80 76 55 65 113 173 207 60 57 64 77 107 160 198 208 65 75 88 127 158 188 202 203 102 116 137 163 186 197 198 202• 各ブロックを離散コサイ ン変換を行う• 離散コサイン変換は離散 フーリエ変換の基底関数 を変えたもの 離散フーリ エ変換の親戚のようなも の 1136. 0 -292. 3 83. 3 -237. 2 195. 2 -32. 0 23. 7 -52. 9 1236. 0 -242. 4 2. 5 -247. 6 217. 8 -20. 0 35. 7 -67. 7 1442. 0 -198. 3 120. 4 -286. 7 182. 4 -11. 2 28. 2 -25. 1 1552. 0 -255. 1 332. 9 -224. 3 62. 2 -25. 3 -9. 3 -6. 4 1718. 0 -429. 2 376. 0 -74. 6 -35. 4 21. 4 17. 2 15. 8 1862. 0 -643. 2 178. 9 30. 5 -38. 2 24. 8 7. 0 -1. 9 2212. 0 -605. 1 -30. 6 50. 7 0. 0 5. 2 -14. 9 -18. 2 2602. 0 -408. 2 -98. 5 9. 0 7. 1 -11. 9 2. 5 -2. 6 低周波数 高周波数画像 離散コサイン変換• JPEG圧縮 ジグザグ スキャン 量子化 離散コサイン 変換 8x8に分割• 離散コサイン変換の結果の 浮動小数点を量子化して整数にする 1136. 0 -292. 3 83. 3 -237. 2 195. 2 -32. 0 23. 7 -52. 9 1236. 0 -242. 4 2. 5 -247. 6 217. 8 -20. 0 35. 7 -67. 7 1442. 0 -198. 3 120. 4 -286. 7 182. 4 -11. 2 28. 2 -25. 1 1552. 0 -255. 1 332. 9 -224. 3 62. 2 -25. 3 -9. 3 -6. 4 1718. 0 -429. 2 376. 0 -74. 6 -35. 4 21. 4 17. 2 15. 8 1862. 0 -643. 2 178. 9 30. 5 -38. 2 24. 8 7. 0 -1. 9 2212. 0 -605. 1 -30. 6 50. 7 0. 0 5. 2 -14. 9 -18. 2 2602. 0 -408. 2 -98. 5 9. 0 7. 1 -11. 9 2. 5 -2. JPEG圧縮 ジグザグ スキャン 量子化 離散コサイン 変換 8x8に分割• 周波数ごとに量子化幅が違う• JPEG圧縮 ジグザグ スキャン 量子化 離散コサイン 変換 8x8に分割 量子化幅 16 11 10 16 24 40 51 61 12 12 14 19 26 58 60 55 14 13 16 24 40 57 68 56 14 17 22 29 51 87 80 62 18 22 37 56 68 109 113 92 24 35 55 64 81 104 113 92 49 64 78 87 103 121 130 101 72 92 95 98 112 100 103 99 1136. 0-292. 383. 3-237. 2195. 2-32. 023. 7-52. 9 1236. 0-242. 5-247. 6217. 8-20. 035. 7-67. 7 1442. 0-198. 3120. 4-286. 7182. 4-11. 228. 2-25. 1 1552. 0-255. 1332. 9-224. 362. 2-25. 3-9. 3 -6. 4 1718. 0-429. 2376. 0-74. 6-35. 421. 417. 215. 8 1862. 0-643. 2178. 930. 5-38. 224. 8 7. 0 -1. 9 2212. 0-605. 1-30. 650. 7 0. 0 5. 2 -14. 9-18. 2 2602. 0-408. 2-98. 5 9. 0 7. 1 -11. 9 2. 5 -2. 6 離散コサイン変換 1136. JPEG圧縮 ジグザグ スキャン 量子化 離散コサイン 変換 8x8に分割 1136. 0-292. 3 83. 3 -237. 2 195. 2 -32. 0 23. 7 -52. 9 1236. 0-242. 4 2. 5 -247. 6 217. 8 -20. 0 35. 7 -67. 7 1442. 0-198. 3 120. 4 -286. 7 182. 4 -11. 2 28. 2 -25. 1 1552. 0-255. 1 332. 9 -224. 3 62. 2 -25. 3 -9. 3 -6. 4 1718. 0-429. 2 376. 0 -74. 6 -35. 4 21. 4 17. 2 15. 8 1862. 0-643. 2 178. 9 30. 5 -38. 2 24. 8 7. 0 -1. 9 2212. 0-605. 1 -30. 6 50. 7 0. 0 5. 2 -14. 9 -18. 2 2602. 0-408. 2 -98. 5 9. 0 7. 1 -11. 9 2. 5 -2. JPEG圧縮 ジグザグ スキャン 量子化 離散コサイン 変換 8x8に分割 142 -53 16 -29 16 -1 0 -1 206 -40 0 -26 16 0 1 -2 206 -30 15 -23 9 0 0 0 221 -30 30 -15 2 0 0 0 190 -39 20 -2 -1 0 0 0 155 -36 6 0 0 0 0 0 90 -18 0 1 0 0 0 0 72 -8 -2 0 0 0 0 0 量子化の結果• 0,0 の要素からジグザグに平坦化する• この時、残りの要素が全てゼロとなる 点までで打ち切る 142,-53,206,206,-40,16,-29,0,-30,221,190,- 30-15,-2616,-1,0,0,9,-15,20,-36,90,72,-18,6, -2,2,0,1,-2,0,0,-1,0,0,-8,-2,1• さらにランレングス符号化やハフマン符号化も行う• まとめ• フーリエ級数展開を用いると様々な関数を三角関数の級 数で表現できる• フーリエ変換、離散フーリエ変換を用いることで様々な 関数やデータがどのような周波数を含んでいるかを調べる ことができる• 画像は様々な周期の縞模様から再構成できる• JPEGは画像に含まれる周波数の偏りを利用して圧縮を 行っている• ご静聴ありがとうございました.

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